Introduction to Game Rotation

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我在接觸3D遊戲引擎時，一開始對旋轉這件事感到很困擾，

在Unity的編輯器中，旋轉的表現形式看起來像三個顏色的球狀旋轉。在Transform裡面又是有著3個數字的向量形式，到了程式碼裡面，又變成Quaternion這種資料形式，讓人一時之間很難搞懂。
這篇文章會記錄一些我對於旋轉的表示方法、各種表示方法的優缺點的理解，以及使用上的一些轉換方式。最後再用一個範例，在Unity中藉由滑鼠拖拉旋轉攝影機來表示如何用程式簡單控制旋轉。

三維空間中的旋轉表示

最為常見的用法有三種：矩陣、歐拉角以及四元數

矩陣(Rotation Matrix)

矩陣方式就是我們所熟知的旋轉矩陣，利用一個3×3矩陣，表示從一個基準的座標，旋轉到目標的座標所使用的旋轉矩陣，換言之，矩陣形式就是將旋轉表示(orientation)轉換成旋轉表示的數學形式。

利用矩陣形式的最大優點，就是對於三維空間座標的向量旋轉是可以立刻使用的，並且可以簡單取得相對的角位移(angular displacement)。
而缺點部分就是相對於其他旋轉的表示方法，需要花到9個數字的儲存空間，並且經常會造成浪費，因為時常我們可能只需要相對某個轉軸的旋轉。

歐拉角(Euler Angle)

歐拉角是將旋轉的定義，從用數字一次定義出來，改變為依照順序對不同軸向進行旋轉，依照heading-pitch-bank定義三個旋轉為heading angle, pitch angle以及bank angle。Heading rotation是沿著y軸進行旋轉，Pitch rotation沿著x軸進行旋轉，Bank rotation則是沿著z軸進行旋轉，字面上定義依照這個順序進行歐拉角的旋轉。
值得注意的是，歐拉角的旋轉不只有heading-pitch-bank方式，還有roll-pitch-yaw等不同的旋轉方式以及順序，像在Unity中，就是以這種方式旋轉，Unity的歐拉角的旋轉順序是沿著Z軸旋轉(roll)，再來沿著X軸旋轉(pitch)，最後沿著Y軸旋轉(yaw)。

歐拉角的最大的優點，就是歐拉角對於閱讀起來十分直觀，是人類可以直接判別的旋轉方法。此外，歐拉角也是對於旋轉最為簡潔的表達方法，只需要3個數字就可以表達出一個旋轉，是最為節省記憶體的方法。
但是，看似如此方便的歐拉角，卻存在著兩個非常嚴重的缺點：

1. 表示同樣旋轉的歐拉角並不唯一

也被稱作別名(aliasing)問題，例如在角度上加上360度，就是一種最單純的別名問題，因為對角度加上360度並不會改變他的角度。但是這類別名問題只要限制角度範圍就可以解決，並不會造成太大的困擾。
真正麻煩的是第二種，因為三個角度並不互相獨立的造成的問題，例如pitch 135度與 heading 180度加上pitch 45度(向下旋轉)是等價的旋轉表示。對於這種別名問題，常見的做法是限制他的旋轉角度，例如限制heading/bank在 －180 ~ +180之間，將pitch限制在－90 ~ +90之間。
然而，就算限制了上面所說的角度之後，仍然會存在一個問題，被稱為萬向鎖(Gimbal Lock)，最為著名的舉例就是先head 45度再pitch 90度，與先pitch 90度再banking 45度是相同的，其最根本的原因就是pitch ±90度之後，使得另外兩個轉軸重疊，此時兩個轉軸旋轉任意角度都會造成別名問題。

為了消除萬向鎖造成的別名問題，可以規定萬向鎖發生時，只交由某一個軸去完成旋轉，假如約定以heading完成全部旋轉，bank在萬向鎖發生時就會永遠為0。

2. 對於兩個旋轉表示的內插(Lerp)的問題

角度的內差第一個會面對的問題，是歐拉角旋轉的週期性所產生的，例如要從heading -150旋轉到heading 150，就存在著60度的短弧與300度的長弧之分，解決這類問題就是將插值的差角限制到正負180度內，確保旋轉在最短弧上。
而在旋轉角度內插上，歐拉角會遇到最大的問題，還是前面提的萬向鎖問題。在單純地將歐拉角進行差值運算時，如果遇到萬向鎖問題，大多情況會導致錯誤的路徑，抖動等等問題，在萬向鎖情況旋轉歐拉角，需要將兩個角度分開旋轉，但是以攝影機的轉向操作為例，在球面上光滑旋轉才是最舒適的表現方式。而歐拉角在旋轉上所遇到的萬向鎖問題，很不幸的目前並沒有任何好的數學解法，這也是歐拉角沒辦法作為最主要旋轉表示的主要原因。

More information : https://www.youtube.com/watch?v=zc8b2Jo7mno

四元數(Quaternion)

四元數的定義

四元數原先是一個四維的複數空間的表示方法，在幾何上的應用，可以作為一種旋轉的表示方式。數值上，存在一個定標器(scaler)w以及一組三維向量v或是直接拆分成x,y,z(Unity中，可以直接取得w,x,y,z四個數值)。
四元數可以代表一個複數空間中的座標，其中[w, (x, y ,z)]被定義成w+xi+yj+zk。其中的i,j,k有如同二維複數空間的性質：

$$i^2 = j^2 = k^2 = -1$$ $$ij = k, ji = -k, jk = i, kj = -i, ki = j, ik = -j$$

如同二維空間的複數座標可以旋轉二維向量，四元數也可以拿來旋轉三維向量。
而四元數中的四個數字究竟是什麼意思呢？從歐拉角我們可以得知，一個三維的旋轉表示可以被表述成一個旋轉軸加上一個旋轉角度，四元數也是用這個概念表示的，假設有一個旋轉軸n加上旋轉角度θ，整個四元數可以被表示成：

$$[w,v] = [cos(θ/2), sin(θ/2)\hat{n}]$$ $$[w,x,y,z] = [ cos(θ/2), sin(θ/2) n_x, sin(θ/2) n_y , sin(θ/2) n_z]$$

四元數的性質們

• 完全沒有旋轉的四元數被稱為identity，數值為[1,0]和[-1,0]，其中的0表示零向量。

• 在旋轉表示的用途中，我們只使用單位四元數(Unit Quaternion)，即模數為1的四元數。

$$||q || = [w,v] = \sqrt{w^2 + ||v||^2} = 1$$

• 四元數的運算
  • 四元數的乘法沒有交換律，q1q2 ≠ q2q1。
  • 四元數的乘法存在結合律， (q1q2)q3 = q1(q2q3)
  • 四元數的乘積的模數等於模數的乘積(||q1|| ||q2|| = ||q1q2||)
  • 四元數的乘法可以表示兩個旋轉的結合，進行q1再進行q2，可以合併成q3 = q2q1(旋轉順序由右向左)
  • 四元數的旋轉差為反四元數，q1到q2的旋轉量為：d = (q1^-1) q2

還有許多未提到的四元數運算如點積、Quaternion Interpolation(Slerp)等，在基礎篇裡面就先省略，如果有下一篇再補上相關資訊<( )>。
四元數的優點是可以平滑插值計算，並且可以快速計算角位移以及轉換成旋轉矩陣，而且只用到四個數字進行存取，記憶體消耗較低。
四元數的缺點則是跟矩陣類似，相較歐拉角更大的記憶體用量，並且比旋轉矩陣更難直接讓人類判讀。

轉換成四元數

在Unity引擎裡面，Transform所顯示的旋轉角度是歐拉角，腳本上取得的Rotation則是四元數，理解兩者之間的轉換方式可以讓使用上更為方便。
為了更符合Unity內的使用，在這個段落中，歐拉角的表示方式將使用roll-pitch-yaw來表示。

將歐拉角轉換成四元數

在前面我們了解到，四元數可以藉由相乘來完成連續旋轉，所以我們將把rolling, pitching, yawing分為三個四元數進行旋轉，最後再將它們串成同一個四元數。
根據四元數的定義，可以轉換如下：

Reference
Wikipedia:
https://en.wikipedia.org/wiki/Conversion_between_quaternions_and_Euler_angles
https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion

3D Math Primer For Graphics and Game Development:
Amazon : https://www.amazon.com/Math-Primer-Graphics-Game-Development-ebook/dp/B008KZU548

Unity Rotation Guide:
https://docs.unity3d.com/Manual/QuaternionAndEulerRotationsInUnity.html